直方图箱、密度和权重

Axes.hist 方法可以灵活地创建几种不同的直方图，这既灵活又方便，但也可能导致混淆。具体来说，您可以

• 根据需要对数据进行分箱，可以使用自动选择的箱数或固定箱边。

• 对直方图进行归一化，使其积分值为 1。

• 并为数据点分配权重，以便每个数据点对它所在箱中的计数产生不同的影响。

Matplotlib hist 方法调用 numpy.histogram 并绘制结果，因此用户应查阅 numpy 文档以获取权威指南。

直方图是通过定义箱边创建的，将一组值排序到箱中，并计算或求和每个箱中的数据量。在这个简单的示例中，9 个介于 1 到 4 之间的数字被排序到 3 个箱中

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(19680801)

xdata = np.array([1.2, 2.3, 3.3, 3.1, 1.7, 3.4, 2.1, 1.25, 1.3])
xbins = np.array([1, 2, 3, 4])

# changing the style of the histogram bars just to make it
# very clear where the boundaries of the bins are:
style = {'facecolor': 'none', 'edgecolor': 'C0', 'linewidth': 3}

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, **style)

# plot the xdata locations on the x axis:
ax.plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax.set_ylabel('Number per bin')
ax.set_xlabel('x bins (dx=1.0)')

修改箱

更改箱的大小会改变这个稀疏直方图的形状，因此建议仔细选择箱，使其与您的数据相符。这里我们将箱的宽度减半。

xbins = np.arange(1, 4.5, 0.5)

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, **style)
ax.plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax.set_ylabel('Number per bin')
ax.set_xlabel('x bins (dx=0.5)')

我们也可以让 numpy（通过 Matplotlib）自动选择箱，或者指定要自动选择的箱数

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['auto', 'n4']],
                             sharex=True, sharey=True, layout='constrained')

ax['auto'].hist(xdata, **style)
ax['auto'].plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax['auto'].set_ylabel('Number per bin')
ax['auto'].set_xlabel('x bins (auto)')

ax['n4'].hist(xdata, bins=4, **style)
ax['n4'].plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax['n4'].set_xlabel('x bins ("bins=4")')

归一化直方图：密度和权重

每个箱中的计数是直方图中每个条形图的默认长度。但是，我们也可以使用 density 参数将条形图长度归一化为概率密度函数。

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, density=True, **style)
ax.set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$])')
ax.set_xlabel('x bins (dx=0.5 $V$)')

这种归一化在仅探索数据时可能难以理解。附加到每个条形图的值将除以数据点的总数 * 和箱的宽度，因此在跨整个数据范围积分时，这些值 _积分_ 到 1。例如

density = counts / (sum(counts) * np.diff(bins))
np.sum(density * np.diff(bins)) == 1

这种归一化是统计学中如何定义 概率密度函数 的。如果 \(X\) 是在 \(x\) 上的随机变量，则 \(f_X\) 是概率密度函数，如果 \(P[a<X<b] = \int_a^b f_X dx\)。如果 x 的单位是伏特，则 \(f_X\) 的单位是 \(V^{-1}\) 或每个电压变化的概率。

这种归一化的有用性在从已知分布中抽取数据并尝试与理论进行比较时更加明显。因此，从 正态分布 中选择 1000 个点，并计算已知的概率密度函数

xdata = rng.normal(size=1000)
xpdf = np.arange(-4, 4, 0.1)
pdf = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-xpdf**2 / 2)

如果我们不使用 density=True，则需要将预期的概率分布函数按数据的长度和箱的宽度进行缩放

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')
dx = 0.1
xbins = np.arange(-4, 4, dx)
ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step', label='Counts')

# scale and plot the expected pdf:
ax['False'].plot(xpdf, pdf * len(xdata) * dx, label=r'$N\,f_X(x)\,\delta x$')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['False'].set_xlabel('x bins [V]')
ax['False'].legend()

ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label='density')
ax['True'].plot(xpdf, pdf, label='$f_X(x)$')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend()

因此，使用密度的优点之一是直方图的形状和幅度不依赖于箱的大小。考虑一个箱宽度不相同的极端情况。在这个示例中，低于 x=-1.25 的箱比其他箱宽 6 倍。通过按密度进行归一化，我们保留了分布的形状，而如果不进行归一化，则较宽的箱将比较薄的箱具有更高的计数

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')
dx = 0.1
xbins = np.hstack([np.arange(-4, -1.25, 6*dx), np.arange(-1.25, 4, dx)])
ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step', label='Counts')
ax['False'].plot(xpdf, pdf * len(xdata) * dx, label=r'$N\,f_X(x)\,\delta x_0$')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['False'].set_xlabel('x bins [V]')
ax['False'].legend()

ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label='density')
ax['True'].plot(xpdf, pdf, label='$f_X(x)$')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend()

类似地，如果我们想比较箱宽不同的直方图，我们可能想使用 density=True

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')

# expected PDF
ax['True'].plot(xpdf, pdf, '--', label='$f_X(x)$', color='k')

for nn, dx in enumerate([0.1, 0.4, 1.2]):
    xbins = np.arange(-4, 4, dx)
    # expected histogram:
    ax['False'].plot(xpdf, pdf*1000*dx, '--', color=f'C{nn}')
    ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step')

    ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label=dx)

# Labels:
ax['False'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend(fontsize='small', title='bin width:')

有时人们希望进行归一化，以便计数之和为 1。这类似于离散变量的 概率质量函数，其中所有值的概率之和等于 1。使用 hist，如果我们将 *权重* 设置为 1/N，则可以获得这种归一化。请注意，这种归一化后的直方图的幅度仍然取决于箱的宽度和/或数量

fig, ax = plt.subplots(layout='constrained', figsize=(3.5, 3))

for nn, dx in enumerate([0.1, 0.4, 1.2]):
    xbins = np.arange(-4, 4, dx)
    ax.hist(xdata, bins=xbins, weights=1/len(xdata) * np.ones(len(xdata)),
                   histtype='step', label=f'{dx}')
ax.set_xlabel('x bins [$V$]')
ax.set_ylabel('Bin count / N')
ax.legend(fontsize='small', title='bin width:')

归一化直方图的价值在于比较具有不同大小总体分布的两个分布。这里我们比较了总体为 1000 的 xdata 分布和总体为 100 的 xdata2 分布。

xdata2 = rng.normal(size=100)

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['no_norm', 'density', 'weight']],
                             layout='constrained', figsize=(8, 4))

xbins = np.arange(-4, 4, 0.25)

ax['no_norm'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step')
ax['no_norm'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step')
ax['no_norm'].set_ylabel('Counts')
ax['no_norm'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['no_norm'].set_title('No normalization')

ax['density'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step', density=True)
ax['density'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step', density=True)
ax['density'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['density'].set_title('Density=True')
ax['density'].set_xlabel('x bins [$V$]')

ax['weight'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step',
                  weights=1 / len(xdata) * np.ones(len(xdata)),
                  label='N=1000')
ax['weight'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step',
                  weights=1 / len(xdata2) * np.ones(len(xdata2)),
                  label='N=100')
ax['weight'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['weight'].set_ylabel('Counts / N')
ax['weight'].legend(fontsize='small')
ax['weight'].set_title('Weight = 1/N')

plt.show()

参考资料

本示例中展示了以下函数、方法、类和模块的使用

• matplotlib.axes.Axes.hist / matplotlib.pyplot.hist

• matplotlib.axes.Axes.set_title

• matplotlib.axes.Axes.set_xlabel

• matplotlib.axes.Axes.set_ylabel

• matplotlib.axes.Axes.legend