绘制二维数据集的置信椭圆

此示例展示了如何使用其皮尔逊相关系数来绘制二维数据集的置信椭圆。

这里解释并证明了用于获得正确几何形状的方法

https://carstenschelp.github.io/2018/09/14/Plot_Confidence_Ellipse_001.html

该方法避免使用迭代特征分解算法，并利用了归一化协方差矩阵（由皮尔逊相关系数和 1 组成）特别容易处理的事实。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from matplotlib.patches import Ellipse
import matplotlib.transforms as transforms

绘图函数本身

此函数绘制给定数组类变量 x 和 y 的协方差的置信椭圆。椭圆将绘制到给定的 Axes 对象 *ax* 中。

椭圆的半径可以通过 n_std 控制，n_std 是标准差的数量。默认值为 3，如果数据像这些示例一样呈正态分布，则该椭圆将包含 98.9% 的点（一维中的 3 个标准差包含 99.7% 的数据，这对应于二维中的 98.9% 的数据）。

def confidence_ellipse(x, y, ax, n_std=3.0, facecolor='none', **kwargs):
    """
    Create a plot of the covariance confidence ellipse of *x* and *y*.

    Parameters
    ----------
    x, y : array-like, shape (n, )
        Input data.

    ax : matplotlib.axes.Axes
        The Axes object to draw the ellipse into.

    n_std : float
        The number of standard deviations to determine the ellipse's radiuses.

    **kwargs
        Forwarded to `~matplotlib.patches.Ellipse`

    Returns
    -------
    matplotlib.patches.Ellipse
    """
    if x.size != y.size:
        raise ValueError("x and y must be the same size")

    cov = np.cov(x, y)
    pearson = cov[0, 1]/np.sqrt(cov[0, 0] * cov[1, 1])
    # Using a special case to obtain the eigenvalues of this
    # two-dimensional dataset.
    ell_radius_x = np.sqrt(1 + pearson)
    ell_radius_y = np.sqrt(1 - pearson)
    ellipse = Ellipse((0, 0), width=ell_radius_x * 2, height=ell_radius_y * 2,
                      facecolor=facecolor, **kwargs)

    # Calculating the standard deviation of x from
    # the squareroot of the variance and multiplying
    # with the given number of standard deviations.
    scale_x = np.sqrt(cov[0, 0]) * n_std
    mean_x = np.mean(x)

    # calculating the standard deviation of y ...
    scale_y = np.sqrt(cov[1, 1]) * n_std
    mean_y = np.mean(y)

    transf = transforms.Affine2D() \
        .rotate_deg(45) \
        .scale(scale_x, scale_y) \
        .translate(mean_x, mean_y)

    ellipse.set_transform(transf + ax.transData)
    return ax.add_patch(ellipse)

用于创建相关数据集的辅助函数

创建一个随机二维数据集，具有指定的二维平均值（mu）和维度（scale）。相关性可以通过参数 'dependency' 控制，这是一个 2x2 矩阵。

def get_correlated_dataset(n, dependency, mu, scale):
    latent = np.random.randn(n, 2)
    dependent = latent.dot(dependency)
    scaled = dependent * scale
    scaled_with_offset = scaled + mu
    # return x and y of the new, correlated dataset
    return scaled_with_offset[:, 0], scaled_with_offset[:, 1]

正相关、负相关和弱相关

请注意，弱相关（右侧）的形状是椭圆形，而不是圆形，因为 x 和 y 的比例不同。但是，x 和 y 不相关的事实通过椭圆的轴线与坐标系的 x 轴和 y 轴对齐来表示。

np.random.seed(0)

PARAMETERS = {
    'Positive correlation': [[0.85, 0.35],
                             [0.15, -0.65]],
    'Negative correlation': [[0.9, -0.4],
                             [0.1, -0.6]],
    'Weak correlation': [[1, 0],
                         [0, 1]],
}

mu = 2, 4
scale = 3, 5

fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3))
for ax, (title, dependency) in zip(axs, PARAMETERS.items()):
    x, y = get_correlated_dataset(800, dependency, mu, scale)
    ax.scatter(x, y, s=0.5)

    ax.axvline(c='grey', lw=1)
    ax.axhline(c='grey', lw=1)

    confidence_ellipse(x, y, ax, edgecolor='red')

    ax.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
    ax.set_title(title)

plt.show()

不同的标准差数量

一个包含 n_std = 3（蓝色）、2（紫色）和 1（红色）的图

fig, ax_nstd = plt.subplots(figsize=(6, 6))

dependency_nstd = [[0.8, 0.75],
                   [-0.2, 0.35]]
mu = 0, 0
scale = 8, 5

ax_nstd.axvline(c='grey', lw=1)
ax_nstd.axhline(c='grey', lw=1)

x, y = get_correlated_dataset(500, dependency_nstd, mu, scale)
ax_nstd.scatter(x, y, s=0.5)

confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=1,
                   label=r'$1\sigma$', edgecolor='firebrick')
confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=2,
                   label=r'$2\sigma$', edgecolor='fuchsia', linestyle='--')
confidence_ellipse(x, y, ax_nstd, n_std=3,
                   label=r'$3\sigma$', edgecolor='blue', linestyle=':')

ax_nstd.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
ax_nstd.set_title('Different standard deviations')
ax_nstd.legend()
plt.show()

使用关键字参数

使用为 matplotlib.patches.Patch 指定的关键字参数，以便以不同的方式呈现椭圆。

fig, ax_kwargs = plt.subplots(figsize=(6, 6))
dependency_kwargs = [[-0.8, 0.5],
                     [-0.2, 0.5]]
mu = 2, -3
scale = 6, 5

ax_kwargs.axvline(c='grey', lw=1)
ax_kwargs.axhline(c='grey', lw=1)

x, y = get_correlated_dataset(500, dependency_kwargs, mu, scale)
# Plot the ellipse with zorder=0 in order to demonstrate
# its transparency (caused by the use of alpha).
confidence_ellipse(x, y, ax_kwargs,
                   alpha=0.5, facecolor='pink', edgecolor='purple', zorder=0)

ax_kwargs.scatter(x, y, s=0.5)
ax_kwargs.scatter(mu[0], mu[1], c='red', s=3)
ax_kwargs.set_title('Using keyword arguments')

fig.subplots_adjust(hspace=0.25)
plt.show()

参考

本示例展示了以下函数、方法、类和模块的使用情况

• matplotlib.transforms.Affine2D

• matplotlib.patches.Ellipse